Kryterium Kelly’ego a ruletka

Często w grach hazardowych zastanawiamy się nad wysokością stawki, jaką powinniśmy postawić w grze. Stosujemy różne systemy, bazujemy na określonej stawce lub ustalamy sobie stały procent posiadanego kapitału.

Ale czy takie metody są efektywne?

Czy nie wydaje się nam czasem (z reguły po wygranej), że mogliśmy jednak postawić więcej?

Rozwiązaniem tych wątpliwości może być właśnie kryterium Kelly’ego.

W oparciu o matematyczną teorię informacji wykorzystanie jej w telekomunikacji J.L. Kelly opracował wzór optymalnej kwoty inwestycji w grach, w oparciu o posiadany kapitał.
Optymalna kwota inwestycji to taka kwota, którą powinniśmy zainwestować w grę, aby zmaksymalizować zysk i zminimalizować ewentualną stratę.

Kwotę inwestycji wg kryterium Kelly’ego określa wzór:

Możemy też spotkać jego inną formę:

k – zysk w grze, określany jako krotność stawki podstawowej (kurs)
p – prawdopodobieństwo sukcesu
q – prawdopodobieństwo porażki

Ale czy w każdej sytuacji możemy ten wzór wykorzystać?
Nie. Są warunki tzw. konieczne.

k nie może być równe 0 – dzielenie przez zero…
q/p < k - jeśli ten warunek nie jest spełniony, otrzymamy wynik ujemny (dla q/p=k otrzymamy 0)
Dla k=1 to prawdopodobieństwo musi być większe niż 50% , w innym przypadku również otrzymamy wynik ujemny.

Kiedyś słyszałem o warunku, że k x p > 1, ale nie znajduję tu matematycznego uzasadnienia.
Kryterium to jest często stosowane w zakładach bukmacherskich i grze na giełdzie.
W zakładach bukmacherskich może się zdarzyć sytuacja, że kurs wyniesie np. 1,2 przy prawdopodobieństwie 0,7 (70%) , co wg kryterium Kelly’ego da nam wynik 0,54, czyli powinniśmy postawić 54% naszego kapitału (przy 100 jednostkach – 54 jednostki), co jest uzasadnione wysokim prawdopodobieństwem zajścia tego zdarzenia. Natomiast warunek k x p > 1 nie będzie spełniony, gdyż w tym przypadku k x p będzie wynosiło 0,84, co jest mniejsze od 1.

A czy kryterium Kelly’ego można wykorzystać w ruletce?

Teoretycznie tak, ale musielibyśmy znaleźć system, który pozwala spełnić wyżej określone warunki. Czy taki system istnieje? Ja na taki nie trafiłem…

Zobaczmy przykład oparty na zakładach prostych – stawiamy na kolor czerwony.
Prawdopodobieństwo wynosi 18/37, czyli 0,4865 (48,65%). Nasz zysk w grze wyniesie 1 (wygrana w stosunku 1:1).
Widzimy już, że nie spełniliśmy warunku trzeciego. Wynik uzyskany przy pomocy kryterium Kelly’ego jest ujemny i wynosi -0,02703. Co to oznacza? Dokładnie to, że powinniśmy raczej postawić na zakład przeciwny.
W praktyce oznacza to, że jeżeli gramy np. na kolor czerwony to powinniśmy postawić na to, że ten kolor nie wypadnie, a takiego zakładu nie możemy postawić – ruletka nie oferuje takiego zakładu. Możemy tylko postawić na kolor przeciwny – czarny, ale tu wpadamy w błędne koło, gdyż prawdopodobieństwo wypadnięcia każdego z kolorów jest takie samo. Niestety, ale tu ważną rolę odgrywa ZERO, które przechyla szanse na korzyść kasyna.
Gdybyśmy mogli postawić na to, że kolor czerwony nie wypadnie, sytuacja wyglądała by już inaczej, bo prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi 19/37, czyli 0,5135 (51,35%). Przy takim zakładzie zero grało by na naszą korzyść. I kryterium Kelly’ego miało by sens.
Przy zakładach złożonych możemy oczywiście uzyskać prawdopodobieństwo powyżej 50%, ale nasz zysk w stosunku do stawki będzie bardzo niski, a tym samym q/p > k. Otrzymamy wynik ujemny…