Wartość oczekiwana gry

W przypadku gier losowych wartość oczekiwaną możemy zdefiniować jako średni zysk przypadający na pojedynczą grę.
Ale nie możemy tego rozpatrywać w stosunku do jednej gry. Przyjmuje się, że ten średni zysk wynika z gier rozgrywanych nieskończoną ilość razy. Oznacza to po prostu, że im więcej gier rozegrasz, tym bardziej zbliżysz się do średniej wyznaczonej w oparciu o wartość oczekiwaną.

Wartość oczekiwaną możemy wyliczyć w oparciu o prosty wzór:

E = p x zysk + (1-p) x strata

E – wartość oczekiwana gry
p – prawdopodobieństwo wygranej
(1-p) – prawdopodobieństwo porażki

Jak to wygląda w praktyce?

Załóżmy, że chcemy postawić na pojedynczy numer 100 żetonów.
Wiemy, że jeżeli wygramy, to nasz zysk wyniesie 3500 żetonów.
Prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1 do 37 (gramy oczywiście w ruletkę europejską).

Podstawiamy do wzoru:

E = 1/37 x 3500 + (1-1/37) x (-100) = -2,70

Popatrzmy jeszcze na chyba najpopularniejszy z zakładów zewnętrznych, czyli zakład na kolor.
Stawiamy 100 żetonów na czarny. Zysk, który możemy osiągnąć również wynosi 100 żetonów. Prawdopodobieństwo wygranej to 18 do 37.

E = 18/37 x 100 + (1-18/37) x (-100) = -2,70

Oba wyniki są ujemne i nawet na tym samym poziomie.
Ujemna wartość oznacza, że gra ta jest dla nas niekorzystna, bo tracimy na każdej grze średnio 2,70 żetona, czyli ok. 2,70%.

Ale grając w ruletkę, trzeba się z tym liczyć. Kasyno ma przewagę. Niewielką, ale ma.

Zobaczmy jeszcze, jak to wygląda przy grze systemami złożonymi, w których obstawiamy różne pola różnymi stawkami. Weźmy np. popularny system określany mianem systemu Bonda.
W tym systemie stawiamy 140 żetonów na kolor, 50 żetonów na szóstkę i 10 żetonów na zero.

E = 18/37 x 140 + 6/37 x 250 + 1/37 x 350 + 19/37 x (-140) + 31/37 x (-50) + 36/37 x (-10) = -5,41

Tym razem wartość oczekiwana wyniosła -5,41, ale zwróćmy uwagę, że jest to znowu ok. 2,70% łącznej stawki.

Czy to kryterium decyduje o tym, czy grać, czy nie grać w ruletkę?
Wg mnie nie. Dlaczego?
Bo w samej definicji wartości oczekiwanej wynika, że ten średni wynik będzie miał zastosowanie przy dużej ilości gier, dążącej do nieskończoności. Przy mniejszej ilości gier realny wynik może znacząco odbiegać od wartości oczekiwanej.
Tutaj kłania się strategia gry i dyscyplina…

Poza tym są inne wskaźniki rachunku prawdopodobieństwa, które mają również wpływ na nasz wynik. Wartość oczekiwana przedstawiona w tym artykule ma zastosowanie przede wszystkim dla systemów jednorazowych, przy których gra progresją jest nierealna i musimy zdać się na los, który sprzyja śmiałym!